纸上谈兵: 左倾堆 (leftist heap)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

我门我门我门 以前讲解了堆(heap)的概念。堆是一一五个多多优先队列。每次从堆中取出的元素前会 堆中优先级最高的元素

在以前的文章中,我门我门我门 基于全版二叉树(complete binary tree)实现了堆,原先 的堆叫做二叉堆(binary heap)。binary heap一一五个多多基本要求: 每个节点的优先级大于一一五个多多子节点的优先级。在某种 要求下,堆的根节点始终是堆的元素中优先级最高的元素。此外,我门我门我门 实现了delete_min()操作,从堆中取出元素;insert()操作,向堆中插入元素。

现在,我门我门我门 考虑下面的间题: 如何合并(merge)一一五个多多堆呢? 一一五个多多方案是从第一一五个多多堆中不断取出一一五个多多元素,并插入到第五个堆中。原先 ,我门我门我门 须要量级为n的操作。我门我门我门 下面要实现更有波特率的合并。

左倾堆 (Leftist Heap)

左倾堆基于二叉树(binary tree)。左倾堆的节点满足堆的基本要求,即(要求1)每个节点的优先级大于子节点的优先级。与二叉堆不同,左倾堆并前会 全版二叉树。二叉堆是非常平衡的树价值形式,它的每一层都被填满(除了最下面一层)。左倾堆则是维持某种不平衡的价值形式: 它的左子树节点往往比右子树有更多的节点。

不平衡

左倾堆的每个节点一一五个多多附加信息,即null path length (npl)。npl是从一一五个多多节点到一一五个多多最近的不满节点的路径长度(不满节点:一一五个多多子节点离米 一一五个多多为NULL)。一一五个多多叶节点的npl为0,一一五个多多NULL节点的npl为-1。

各个节点的npl (这里显示的前会 元素值)

根据npl的定义,我门我门我门 有推论1: 一一五个多多节点的npl等于子节点npl中最小值加1: npl(node) = min(npl(lchild), npl(rchild)) + 1

有了npl的概念,我门我门我门 都要能全版的定义左倾堆。左倾堆是一一五个多多符合下面要求的二叉树:

  • 要求1: 每个节点的优先级大于子节点的优先级
  • 要求2: 对于任意节点的左右一一五个多多子节点,右子节点的npl不大于左子节点的npl

左倾堆的性质

从里边的要求1和2都要能知道,左倾堆的任意子树也是一一五个多多左倾堆

某些左倾堆的价值形式,左倾堆的右侧路径(right path)较短。右侧路径是指我门我门我门 从根节点以前刚开始,不断前往右子节点所构成的路径。对于一一五个多多左倾堆来说,右侧路径上节点数不大于任意某些路径上的节点数,某些,将违反左倾堆的要求2

我门我门我门 还都要能证明推论2,某些一一五个多多左倾堆的右侧路径上有r个节点,没人 该左倾堆将离米 有2r-一一五个多多节点。我门我门我门 采用归纳法证明:

  • r = 1, 右侧路径上一一五个多多节点,很多很多离米 有21-一一五个多多节点
  • 假设任意r, 左倾堆离米 有2r-1节点。没人 对于一一五个多多右侧路径节点数为r+1的左倾堆来说,根节点的右子树的右侧路径有r个节点。根节点的左子树的右侧路径离米 有r个节点。根据假设,该左倾堆将包括: 
    • 右子树:离米 有2r-1个节点
    • 左子树: 离米 有2r-1个节点
    • 一一五个多多根节点
  • 某些,对于r+1,整个左倾堆离米 有2r+1-一一五个多多节点。证明完成

换句话说,一一五个多多n节点的的左倾堆,它的右侧路径最多有log(n+1)个节点。某些对右侧路径进行操作,其简化度将是log(n)量级。

我门我门我门 将沿着右侧路径进行左倾堆的合并操作。合并采用递归。合并如下:

  1. (base case) 某些一一五个多多空左倾堆与一一五个多多非空左倾堆合并,返回非空左倾堆
  2. 某些一一五个多多左倾堆都非空,没人 比较一一五个多多根节点。取较小的根节点为新的根节点(满足要求1),合并较小根节点堆的右子堆与较大根节点堆。
  3. 某些右子堆npl > 左子堆npl,互换右子堆与左子堆。
  4. 更新根节点的npl = 右子堆npl + 1

里边的合并算法调用了合并操作自身,很多很多是递归。某些我门我门我门 沿着右侧路径递归,很多很多简化度是log(n)量级。

左倾堆的实现

里边都要能看得人,左倾堆都要能相对高效的实现合并(merge)操作。

某些的堆操作,比如insert, delete_min都都要能在merge基础上实现:

  • 插入(insert): 将一一五个多多单节点左倾堆(新增节点)与一一五个多多已有左倾堆合并
  • 删除(delete_min): 删除根节点,将剩余的左右子堆合并
/* By Vamei */

/* 
 * leftist heap
 * bassed on binary tree 
 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct node *position;
typedef int ElementTP;

struct node {
    ElementTP element;
    int npl;
    position lchild;
    position rchild;
};

typedef struct node *LHEAP;

LHEAP insert(ElementTP, LHEAP);
ElementTP find_min(LHEAP);
LHEAP delete_min(LHEAP);
LHEAP merge(LHEAP, LHEAP);
static LHEAP merge1(LHEAP, LHEAP);
static LHEAP swap_children(LHEAP);

int main(void)
{
    LHEAP h1=NULL;
    LHEAP h2=NULL;
    h1 = insert(7, h1);
    h1 = insert(3, h1);
    h1 = insert(5, h1);

    h2 = insert(2, h2);
    h2 = insert(4, h2);
    h2 = insert(8, h2);

    h1 = merge(h1, h2);
    printf("minimum: %d\n", find_min(h1));
    return 0;
}

/*
 * insert:
 * merge a single-node leftist heap with a leftist heap
 * */
LHEAP insert(ElementTP value, LHEAP h)
{
    LHEAP single;
    single = (position) malloc(sizeof(struct node));

    // initialze
    single->element  = value;
    single->lchild   = NULL;
    single->rchild   = NULL;

    return  merge(single, h);
}

/*
 * find_min:
 * return root value in the tree
 * */
ElementTP find_min(LHEAP h)
{
    if(h != NULL) return h->element;
    else exit(1);
}

/*
 * delete_min:
 * remove root, then merge two subheaps
 * */
LHEAP delete_min(LHEAP h)
{
    LHEAP l,r;
    l = h->lchild;
    r = h->rchild;
    free(h);
    return merge(l, r);
}

/*
 * merge two leftist heaps
 * */
LHEAP merge(LHEAP h1, LHEAP h2) 
{

    // if one heap is null, return the other
    if(h1 == NULL) return h2;
    if(h2 == NULL) return h1;

    // if both are not null
    if (h1->element < h2->element) { 
        return merge1(h1, h2);
    }
    else {
        return merge1(h2, h1);
    }
}

// h1->element < h2->element
static LHEAP merge1(LHEAP h1, LHEAP h2)
{
    if (h1->lchild == NULL) { 
        /* h1 is a single node, npl is 0 */
        h1->lchild = h2; 
    /* rchild is NULL, npl of h1 is still 0 */
    }
    else {
        // left is not NULL
    // merge h2 to right
    // swap if necessary
        h1->rchild = merge(h1->rchild, h2);
    if(h1->lchild->npl < h1->rchild->npl) {
        swap_children(h1);
    }
        h1->npl = h1->rchild->npl + 1; // update npl
    }
    return h1;
}

// swap: keep leftist property
static LHEAP swap_children(LHEAP h) 
{
    LHEAP tmp;
    tmp       = h->lchild;
    h->lchild = h->rchild;
    h->rchild = tmp;
}

总结

左倾堆利用不平衡的节点分布,让右侧路径保持比较短的情况汇报,从而提高合并的波特率。

在合并过程,通过左右互换,来恢复左倾堆的性质。

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